「門牌號碼不只是郵差尋找我們的座標,在數學家眼裡,每一個數字都有它獨一無二的靈魂。」
這可不是說甚麼數字靈魂都適用於算命算運。而是數學(家)透過研究與發展,產生了商業計數與土地測量,到現在的應用不勝枚舉,可以說無處不是數字吧。
如果說大慶成商號的櫃台是我學習算術(Arithmetic)的平台,那麼掛在門口那塊斑駁的藍底白字門牌,就是我窺探數論(Number Theory)的窗口之一。 很難想像從一個挨著一個計數(1, 2, 3, 4。。)開始到密碼學,從質數,哥德巴赫猜想,大費馬定理(從猜想被證明後就成了定理)產生很多不同的研究。
回到數字本身,在我的成長記憶裡,分成了兩個時期:一個是492號的童年,一個是三街153號的青春期。
492號:偶數的平穩與秩序
嘉里村492號。這是我最早記得的座標。
小時候,我很喜歡盯著那塊門牌看。那時候不懂什麼數學大道理,492這個數字是偶數,代表可以平分。
有一種遊戲——不斷地切分。這是成本很低的遊戲,只要一根飛鏢或一個石頭就能玩的對半分,在地上劃出一個任意形狀,(猜拳決定順序優先權) 用飛鏢或石頭投擲後,利用該點將標記區域減半或分割,經過幾次後統計出大小。
我曾經把 492 這個數字從中間切開:
492 ÷ 2 = 246
還是偶數,再切:
246 ÷ 2 = 123
停在這裡。 1, 2, 3, 4。(492 = 123x4)
當我發現 492 竟然是連續的 1234 時,那種興奮簡直難以言喻。彷彿我破解了一個隱藏在門牌裡的密碼。(這個隨機分配的門牌號碼,骨子裡竟然藏著這麼整齊的數列。)
長大後我才知道,這就是數學上的質因數分解 (Prime Factorization)的雛形。
根據算術基本定理 (Fundamental Theorem of Arithmetic),任何一個大於1的整數,都可以被唯一地寫成一串質數的乘積。
492 = 2x2x3x41
它由兩個 2、一個 3 和一個 41 組成。那個看起來很平凡的門牌,其實是由這幾個基本的「原子」所構成的。
這就像祖母雜貨店裡的存貨,雖然架上琳瑯滿目,但追本溯源,都是由糖、鹽、油這些基本物質組成的。(但那中間還有很多物理與化學)。
但在物質缺乏的年代,學習的途徑不像今天這麼多元且豐富,能夠在地上玩OX棋,仿造其他人作竹槍,或者從時鐘上計算一天有幾次時針分針重合,都還算滿足求知(生)的本能。
當然,將物品平分,三分(小弟出生前,我們三兄弟都是三分),這類的生活常識也是慢慢累加起來的數學直覺。
很多年以後,246對我有另外一層意義。在我開始跑步之後的頭幾年,一直想朝聖馬拉松起源地的雅典參加一場長達246公里的超馬賽事,那是雅典到斯巴達的距離。1896年,第一次現代奧運,有人提倡以 Pheidippides 從馬拉松平原跑回雅典衛城的26英里(約42公里)做為競賽項目,紀念西元前490年,馬拉松平原上的茴香原戰役(Battle of Marathon,音譯就是馬拉松戰役,marathon 就是野茴香),雅典打敗海上來的波斯大軍,這場勝利也保住了雅典從西元前508年開始的民主化。
事實上,Pheidippides 在幾日之內完成了從雅典到斯巴達,返回雅典,前往 Marathon 作戰,負傷跑回衛城,高喊"我們勝利了"之後力竭而死。據說是超過了六百公里的移動距離呢。
153號:水仙花的奇蹟
後來,因為行政區域的調整(村子裡劃分出了一路到四路,一街到三街),我家的地址變成了「嘉里三街153號」-- 幾乎是村子最邊緣的一戶。
起初,我很不喜歡這個新號碼。
它是奇數,看起來頭重腳輕,站不穩。不是1,3,5,是1,5,3。而且它不能被 2 整除,這讓我失去了「對半切」的樂趣。
直到出了社會,在數論的科普書裡,我驚訝地發現了 153 的驚人身世。
書上說,153 是一個「水仙花數 (Narcissistic Number)」,在西方也被稱為「阿姆斯特朗數 (Armstrong Number)」。
什麼是水仙花數?希臘神話裡的美少年納西瑟斯(Narcissus)因為愛上了水中自己的倒影,最後化成了水仙花。在數學上,這類數字有一種「自我指涉」的特質:
一個 $n$ 位數,其各個位數的 $n$ 次方之和,剛好等於它自己。
看看 153:
它是個 3 位數。我們試著把它拆開,將每個數字自乘 3 次(立方):
$1^3 = 1$
$5^3 = 125$
$3^3 = 27$
把它們加起來:
$1 + 125 + 27 = 153$
天啊!它轉了一圈,經過次方的洗禮,又變回了自己!
在浩瀚的數字海洋中,能做到這件事的數字少之又少。三位數的水仙花數只有四個:153、370、371、407。而 153 是其中最小、最優美的一個。
我從來沒機會再告訴祖母:「阿婆,我們家的門牌是水仙花喔!」(客家話的水仙花怎麼說?)
祖母當然聽不懂什麼立方和,她應該只會笑著說:「水仙花好看啊。」
聖經裡的網魚
後來我讀的書更多了,發現 153 這個數字的神秘還不只如此。在《聖經》約翰福音裡,耶穌復活後指引門徒下網打魚,他們神奇地捕獲了滿滿一網大魚。
經文裡精確地記載了魚的數目:「一共是一百五十三條。」
為什麼是 153?歷代神學家和數學家給出了無數種解釋。
古希臘數學家發現 153 也是個「三角形數」(1+2+3+...+17 = 153)。
這意味著,如果你有 153 個硬幣,你可以把它們排成一個完美的正三角形(等三邊行,每邊都是17個硬幣)。
從 492 的偶數秩序,到 153 的神奇奇數,這彷彿也隱喻了人的成長路徑。
童年像 492,是可以被安排、被規矩整除的,核心是簡單的 123。
而成年世界像 153,充滿了稜角,不再那麼容易被看透,但如果深入探索,藏著獨特結構——
我的祖母不懂這些數學上的定義。但她的記憶力以及把數字看作是重要的佐實依據這件事一直深深影響我。
成年之後返回花蓮,我們會數著台九線的公路里程並記憶那個點,後來台九線的153K從山路移轉到了隧道裡,作為一個情緒的中間接力點,兩種路的印象會浮出。
數學上的153 永遠等於一的立方加五的立方加三的立方,這是不會變的。
註解
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區域減半的遊戲就是基於規則可以延伸下去的遊戲,這還差一點點就可以發明了 Voronoi Diagram(沃羅諾伊圖),也稱作Dirichlet tessellation,狄利克雷鑲嵌,一個在數學上有很多應用的領域。
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