Ralph Vince 在"金錢管理數學" 一書中應用了HPR (holding period returns)概念 –在一定時間內持有寸頭的贏利。寸頭贏利 10% ， HPR=1+0.10=1.10。寸頭虧損 10%， HPR=1-0. 10=0.90。換種方法你同樣可以得到 HPR值， HPR=BalanceClose/BalanceOpen。這樣你得到的就不僅僅是寸頭的結果還有HPR值。 這樣我們可以對獨立的交易合約進行對比。其中之一就是持限期回報的平均值 - AHPR (average holding period returns)。
AHPR 得出的計算平均值等於 1.0217。換句話講，我們在每個寸頭得到的平均值為 (1.0217-1)*100%=2. 17 % 。那麼事實是這樣嗎？ 如果用2.17除以 30,得到 65.1%。 再用初始資金 $500 除以 65. 1%得到 $325.50。這時得到的真正贏利為 (627.71-500)/500*100%=25. 54%。因此， HPR平均數並不是能夠完全正確地估測系統。
伴隨計算平均數Ralph Vince同時也介紹了幾何平均數，稱為GHPR (geometric holding period returns)。幾何平均數的計算公式如下：
如果我們的交易在再次投資的基礎上，系統的 GHPR 值越大，獲得贏利的值就越高。如果在再次投資的基礎上幾何平均數的值小於1，說明系統將會虧損。你可以在sashken'а賬戶歷史上看到AHPR 和GHPR之間的差別。他曾經在很長一段時間內成為錦標賽的領跑者。. AHPR=9.98% 但最終的GHPR=-27.68% 。
Sharpe Ratio=(1.0217-(1+0))/0.17607=0.0217/0.17607=0.1232。對於正常分布，在±3σ(=SD)範圍內平均值為M(X)得到的隨機值近 99%。通過以上可以得出結論Sharpe Ratio 超過 3 是一個很好的結果。在圖中我們可以看到，如果寸頭結果分布正常，那麼根據3個sigma 的規定在每個寸頭的交易虧損1% Sharpe=3。
在參賽者RobinHood的賬戶可以得到證明: 他的智慧交易在 2006自動交易錦標賽中完成了26個寸頭的交易， 其中沒有一個虧損。Sharpe Ratio顯示值為 3.07!
通常用最小二次方的方法找到這條直線。 我們的函數為 а 和 b。對於每個點 x擁有雙重意義： y(x)=a*x+b 和差額(x)。差額離差 (x) 來自y(x)可以標記為 d(x)=y(x)-差額(x)。平方離差的總額（SSD）可以用 SD=Summ{d(n)^2}計算。找到直線的 最小二次方就意味著找到了函數 a 和 b的最小 SD 。這就是對於當前的線性回歸 (LR,Linear Regression) 。
圖.7來自直線y=ax+b的差額離差值
用最小二次方的方法得到直線函數y=a*x+b ，我們就可以估測出金錢上差額值得偏差。如果我們計算d(x)計算平均數, 得到М(d(x))接近零 (具體說是基本上等於零)。這時SD 的SSD 不等於零並且存在中心限定值。在帶有直線差額圖表SD/(N-2)的平方根顯示價差，同時允許在不同初始狀態的賬戶上評估交易系統。這個參數我們稱為線性回歸的差額標準離差（LR Standard error）.
2006自動交易錦標賽前15名的值:
# 登陸
LR Standard error, $ 贏利, $
1 Rich 6 582.66 25 175.60
2 ldamiani 5 796.32 15 628.40
3 GODZILLA 2 275.99 11 378.70
4 valvk 3 938.29 9 819.40
5 Hendrick 3 687.37 9 732.30
6 bvpbvp 9 208.08 8 236.00
7 Flame 2 532.58 7 676.20
8 Berserk 1 943.72 7 383.70
9 vgc 905.10 6 801.30
10 RobinHood 109.11 5 643.10
11 alexgomel 763.76 5 557.50
12 LorDen 1 229.40 5 247.90
13 systrad5 6 239.33 5 141.10
14 emil 2 667.76 4 658.20
15 payday 1 686.10 4 588.90
差額圖表中的直線不僅僅可以衡量金錢價值，同樣可以衡量絕對價值。對於這個，我們可以使用相關函數。相關函數r 衡量兩組資料。這個參數的價值的範圍是在-1到 +1之間。如果 r 值等於 +1，就意味著兩組資料相同並且是肯定的。
圖.8 肯定狀態範例
如果 r 值等於 -1 ,就意味著兩組資料呈相反狀態並且是否定的。
圖.9 否定狀態範例.
如果 r值等於零，意味著兩組資料之間的依存性沒有顯示。對於這種情況，我們必須確定兩組資料相互之間的關係：其中一個取自差額圖表，第二個則是在線性回歸上的相關點。
圖.10 差額值和線性回歸上的點
在表格中以一下形式呈現：【BINGO 投資經驗薈萃】
交易 差額 線性回歸.
0 10 000.00 13 616.00
1 11 069.52 14 059.78
2 12 297.35 14 503.57
3 13 616.65 14 947.36
4 15 127.22 15 391.14
5 16 733.41 15 834.93
6 18 508.11 16 278.72
7 14 794.02 16 722.50
8 16 160.14 17 166.29
9 17 784.79 17 610.07
10 19 410.98 18 053.86
11 16 110.02 18 497.65
12 17 829.19 18 941.43
13 19 593.30 19 385.22
14 16 360.33 19 829.01
15 18 104.55 20 272.79
16 19 905.68 20 716.58
17 21 886.31 21 160.36
交易
差額 線性回歸
18 23 733.76 21 604.15
19 25 337.77 22 047.94
20 27 183.33 22 491.72
21 28 689.30 22 935.51
22 30 411.32 23 379.29
23 32 197.49 23 823.08
24 28 679.11 24 266.87
25 29 933.86 24 710.65
26 26 371.61 25 154.44
27 28 118.95 25 598.23
28 24 157.69 26 042.01
29 25 967.10 26 485.80
30 22 387.85 26 929.58
31 24 070.10 27 373.37
32 25 913.20 27 817.16
33 27 751.84 28 260.94
34 23 833.08 28 704.73
35 19 732.31 29 148.51
差額值用 X表示,在線性回歸直線上的連續點用Y表示。要計算出X和 Y的線性相關函數，先要找到平均值M(X)和 M(Y)。隨後需要建立新數組T=(X-M(X))*(Y-M(Y)) 並計算 出平均值M(T)=cov(X,Y)=M((X-M(X))*(Y-M(Y)))。得到的價值稱為 X 和Y的方差同時也意味著 (X-M(X))*(Y-M(Y))預期值。在我們的範例中方差值 等於21 253 775. 08。 值得注意的是M(X)和 M(Y)平均值相互相等，這樣就存在價值21 382.26。就是說，差額平均值和計算直線平均值是相等的。
T=(X-M(X))*(Y-M(Y))
M(T)=cov(X,Y)=M((X-M(X))*(Y-M(Y)))位置:
X – 差額;
Y – 線性回歸；
M(X)- 差額平均數；
M(Y) – 線性回歸平均數。
現在我們來計算 Sx和 Sy值。要計算 Sx需要價值總數 (X-M(X))^2。需要提醒的是用最小二次方計算。將平方總數按照數量划分。我們的例子中划分為36 (0 - 35)。這樣我們的Sx 值得到。Sy 值以同樣的方法計算。範例中得到的值為Sx=5839,098245，Sy=4610. 181675.
Sx=Summ{(X-M(X))^2}/N
Sy=Summ{(Y-M(Y))^2}/N
r=cov(X,Y)/(Sx* Sy)
位置:
N – 寸頭數；
X – 差額；
Y – 線性回歸；
M(X)- 差額平均數；
M(Y) – 線性回歸平均數。
現在我們就得到了相關函數r=21 253 775.08/(5839. 098245 * 4610.181675)=0.789536583。 這個價值小於1 ，距離0 較遠。這種情況下，說明差額圖表內趨勢線值為0.79。與其他提系統相比較，我們逐步地學習解釋相關函數。在 "報告" 裡這個參數寫作LR correlation。 存在一點不同的是錦標賽中- LR correlation 表示交易贏利。
其實，在差額圖表和任意之間的相關函數我們都能夠計算。對於錦標賽趨勢線相關函數的計算。如果LR correlation 大於0 – 贏利交易，如果小於0 – 虧損交易。有時也會發生有趣的事 - 當賬戶顯示贏利，但LR correlation 卻是負值，也可以說是虧損交易。現在我們通過Aver`а的實例情況看看。凈贏利總值(Total Net Profit) 為$2 642，而LR сorrelation 值為 -0. 11.。雖然對目前賬戶沒有關聯，但這說明我們根本無法判斷賬戶接下來的命運。
參數MAE 和 MFE 告訴我們
我們經常聽到這樣的話: "減少損失增長利潤".看到最後的結果，對於止損或是有效可靠的贏利我們不能夠作出任何結論。我們看到的只是開倉時間，平倉時間和最終結果 – 盈利還是虧損。在毫不知曉市場利率浮動的情況,我們不能判定交易系統特性。它的風險是多少？可以達到的贏利值？對於這些問題MAE (Maximum Adverse Excursion) 和 MFE (Maximum Favorable Excursion)參數可以做出很好的回答。
每個寸頭從開倉到平倉都會存在利潤的波動。在這過程中寸頭會達到最大贏利和最大虧損。MFE 顯示在有利價位偏差的贏利。然而，MAE 顯示在害價位偏差的虧損。這是一個邏輯化的衡量，但如果不同的對貨幣，我們將不得不表示會應用金錢計算。
每個結束的交易結果與兩個參數有關 - MFE 和 MAE。如果交易贏利的結果為 $100， MAE-$1000，這並不代表是最佳值。許多交易贏利，但卻存在著相當部分的MAE負值，這就告訴我們系統只是在做休息，接下來的虧損是必然的。【BINGO 投資經驗薈萃】
我們同樣可以從 MFE值得到資訊。如果倉位的方向正確，MFE達到 $3000,但平倉的結果以 $500結束。可以說這是一個不錯的保障系統。這個可能是追蹤止損(Trailing Stop)。如果短期贏利可以系統化。這個系統可以改善。那麼MFE 將會告知。
為了更加便捷地分析可以應用MAE 和 MFE值分布圖表。如果我們將每個寸頭放入到圖表中，就可以明了地看到取得的結果。例如，參賽者RobinHood“報告”沒有一個虧損寸頭，可以看到其中任意的MAE值從 -$120到 -$2500。
圖.11 MAE x Returns的交易分布
另外，我們可以得到用最小二次方計算得到的Returns x MAE 交易分布。在上圖中以紅色顯示並向否定方向傾斜 (下降趨勢從左到右)。參數 Correlation(Profits, MAE)=-0,59 允許我們對直線附近的點評估，負值顯示下降趨勢。
如果查看其他參賽者，可以看出相關函數值為肯定。在上面的例子中下降的坡線說明交易呈虧損趨勢。現在我們就可以明白理想的LR Correlation值等於1!
同樣的方法可以計算 Returns 和MFE分布, 同樣找到相關函數Correlation(Profits,MFE)=0.77 和 Correlation(MFE, MAE)=-0.59。函數值Correlation(Profits, MFE) 顯示肯定並且接近1 (0.77)。這就告訴我們策略不允許長時間的浮點利率停頓獲得贏利。如我們所看到的 MAE 和 MFE分布能夠給我們視覺上的評估，相關函數Correlation(Profits, MFE) 和 Correlation(Profits, MAE)能夠在沒有圖表的情況下給出交易資訊。
Correlation(MFE, MAE), Correlation(NormalizedProfits, MAE) 和 Correlation(NormalizedProfits, MFE) 值在錦標賽參賽者資料"報告"中作為補充資訊。
交易結果正常化
通常在交易系統創建中應用固定大小寸頭。這樣就易於參數的優化。但在找到所需的資料後，就會發現邏輯性的問題：可以接受多大的管理系統(Money Management, MM). 打開交易倉位的大小與賬戶上的資金存在直接的關係，所以不可能在$5 000 交易占用$50 000美元的倉位。除此之外， ММ系統開倉不一定需要固定比例，就是說如果說存款額為$50 000不是一定要有10個以上以$5 000存款的倉位。
倉位可以根據當前市場狀況和分析結果等等進行改變。因此金錢管理系統的最初形態可以替換。那麼我們如何估測金錢管理系統帶來的影響？對我們的交易系統是正面的還是負面的？在起初相同存款額的幾個賬戶上如何進行對比？簡單有效的方法就是將交易結果正常化。
NP=TradeProfit/TradeLots*MinimumLots位置:
TradeProfit – 贏利交易；
TradeLots – 交易份額；
MinimumLots – 交易的最小份額。
將交易結果（贏利或是虧損）正常化，我們將交易結果按照交易量划分，隨後乘以最小允許交易值。例如，GODZILLA (Nikolay Kositsin)賬戶，.定單 #4399142 買進2.3標準手USDJPY 贏利 $4 056. 20 + $118.51 (swaps) = $4 174.71平倉。划分結果為2. 3 0.1 (最小允許交易值), 得到贏利$4 056.20/2.3 * 0.1 = $176.36和掉期 = $5.15.。這樣得到的結果就是正常化的結果 (Normalized Profits, NP)。
首先，需要找到 Correlation (NormalizedProfits, MAE)值 和Correlation(NormalizedProfits, MFE)值，然後將Correlation(Profits, MAE) 值和 Correlation(Profits, MFE)值進行比較。如果相互之間參數差距較為明顯，那我們就不得不改變初始系統。有人說改變金錢管理系統無疑是種自殺，根本不能把虧損交易轉為贏利。在錦標賽中 TMR 賬戶可以說是一個特例，當賬戶Correlation(NormalizedProfits, MFE) 值從 0.23改變至 0.63仍然保持盈利。
如何估測策略的攻擊？
我們可以看出正常化交易給金錢管理策略帶來有益的影響。非常明顯，如果開倉大小增加１０倍，自然得到的結果也是最初的１０倍。但如果在當前情況增加交易數量呢？得到的結果往往與一種中心模式比較，通常是一種指數。 Beta函數顯示交易賬戶與指數比較改變的次數。【BINGO 投資經驗薈萃】
這樣，我們首先要計算方差cov(Profits, NormalizedProfits)。隨後計算正常化交易離差 ，以作為NP名稱。找到以M(NP)命名的正常化交易預期值。 M(NP) 顯示正常化交易結果平均值。然後從M(NP)中找到SSD ，就是總值(NP-M(NP))^2。得到的結果按照交易數量划分並稱為 D(NP)。這就是正常化交易離差。與正常化交易比較參數結果可以從原始交易結果中估測交易價格波動的次數。在錦標賽 "報告"中這個參數被稱為Money Compounding 並且在某種程度上是一種策略攻擊。
MoneyCompounding=cov(Profits, NP)/D(NP)=
M((Profits-M(Profits))*(NP-M(NP)))/M((NP-M(NP))^2)
位置:
Profits – 交易結果；
NP – 正常化的交易結果；
M(NP) – 正常化的交易結果平均數。
現在我們就可以用不同視角看看下表2006自動交易錦標賽參賽者。
# 登陸
LR Standard error, $ LR Correlation Sharpe GHPR Z-score (%) Money Compounding 利潤$
1 Rich 6 582.66 0.81 0.41 2.55 -3.85(99.74) 17.27 25 175.60
2 ldamiani 5 796.32 0.64 0.21 2.89 -2.47 (98.65) 28.79 15 628.40
3 GODZILLA 2 275.99 0.9 0.19 1.97 0.7(51.61) 16.54 11 378.70
4 valvk 3 938.29 0.89 0.22 1.68 0.26(20.51) 40.17 9 819.40
5 Hendrick 3 687.37 0.79 0.24 1.96 0.97(66.8) 49.02 9 732.30
6 bvpbvp 9 208.08 0.58 0.43 12.77 1.2(76.99) 50.00 8 236.00
7 Flame 2 532.58 0.75 0.36 3.87 -2.07(96.06) 6.75 7 676.20
8 Berserk 1 943.72 0.68 0.20 1.59 0.69(50.98) 17.49 7 383.70
9 vgc 905.10 0.95 0.29 1.63 0.58(43.13) 8.06 6 801.30
10 RobinHood 109.11 1.00 3.07 1.74 N/A (N/A) 41.87 5 643.10
11 alexgomel 763.76 0.95 0.43 2.63 1.52(87.15) 10.00 5 557.50
12 LorDen 1229.40 0.8 0.33 3.06 1.34(81.98) 49.65 5 247.90
13 systrad5 6 239.33 0.66 0.27 2.47 -0.9(63.19) 42.25 5 141.10
14 emil 2 667.76 0.77 0.21 1.93 -1.97(95.12) 12.75 4 658.20
15 payday 1686.10 0.75 0.16 0.88 0.46(35.45) 10.00 4 588.90
從上表格中可以看出錦標賽優勝者賬戶中LR Standard error值並不小。同時，多數贏利智慧交易的差額圖表都很順暢。那是因為LR Correlation全部接近 1.0。Sharpe顯示的範圍在0.20 到 0.40之間。只有一個智慧交易Sharpe Ratio=3. 07，說明MAE 和 MFE值不是很好。
GHPR 的基本分配範圍在百分之１．５到３ 之間。另外優勝者的GHPR 值普遍不大。盡管其中最大的一個GHPR=12. 77% ，再次說明這個賬戶最大波動LR Standard error=$9 208.08。
在錦標賽前１５名的智慧交易中Z-得分沒有共同點，但 |Z|>2.0值使我們注意到歷史交易。我們看到Rich'а 在同時打開三個寸頭時 Z=-3,85，而賬戶 ldamiani的處境呢?
最後，在表格的最後一行為Money Compounding 同樣存在很大的範圍值從8 到 50。 50 是錦標賽的最大價值，因為錦標賽的規則規定最大交易標準手為5. 0 лота。但奇怪的是優勝者的參數沒有這麼大，前三名的值分別為17.27, 28.79 和 16.54。難道他們沒有完全應用最大允許交易數？不，應用了。那是因為在增加交易買賣同時金錢管理不會提高風險由此我們可以看出金錢管理對於交易系統的重要性。
占據第 15位的智慧交易 payday。由於一個小代碼的錯誤，這個智慧交易的交易份額不能超過1.0 標準手。如果不是因為這個小代碼的錯誤致使交易份額不可增加到5. 0標準手，那麼交易是否贏利值在$4 588.90到$22 944.50之間呢? 要不是挽回風險他會不會取得第二的位置？第一的位置有可能是alexgomel嗎?如果他的智慧交易的交易份額保持在1.0 標準手。還是 vgc能夠取得成功？他的智慧交易經常性開倉交易量少於1.0 標準手。看著這些差額圖表，仿佛錦標賽仍然在繼續，不過它已經成為過去。
結論: 與時俱進
見仁見智。這篇文章給出了一些普通的方法估算的交易策略。一個能創造更多的標準來估算交易結果分別採取每個特性將無法提供全面, 客觀的估計,但兩者融合,他們就可能幫助我們避免片面做法。【BINGO 投資經驗薈萃】
可以說,任何肯定的交易結果（連續贏利交易）我們可以從負值交易中獲得。這意味著所有這些特征並不能夠完全準確地告知交易的薄弱點在貿易。我們應該注意，不應該只滿意於最終的肯定結果，得到純利潤就好。
我們不能夠創建一個十全十美的智慧交易，每個智慧交易本身都存在利與弊。懂得估測的方法是不拒絕任何交易方法，而不是教條的執行。要懂得如何能夠繼續發展智慧交易不斷更新。上述對2006自動交易錦標賽的統計評論希望對每位交易者都能夠帶來幫助與支撐。
