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貝氏定理(Bayes' theorem)經常被用來估算事後機率

要估算事後機率 就要先有一個事前機率 這個事前機率是研究者觀察到或估算的機率

比如你的統計學教授每週兩天會來上課 那麼你一週會看見幾次統計學教授呢? 因為你是一位宅男 只有上課會離開宿舍 根據你的作息 從你的觀察出發 一週會看見兩次教授 所以機率是0.4 這是觀察到的或估算出來的事前機率 

那麼看見教授穿紅衣服上課的事後機率是多少呢? 那麼"紅衣服"就是發生的事件 以此例而言 可以見得 事後機率會低於事前機率

那麼看見教授穿紅衣服紅褲子上課的事後機率是多少呢? 那麼發生的事件有兩件 一是紅衣服 一是紅褲子 這裡有一個麻煩 你曾看見教授穿紅衣服上課 所以會有機率 你也曾看見教授穿紅褲子上課 所以也會有機率 但是你不曾看見教授同時穿著紅衣紅褲上課 所以這個機率只能估算 怎麼估算? 只好假設穿紅衣服與穿紅褲子這兩件事具有相互獨立性並依據獨立機率的乘積法則來估算 

你會懷疑 紅褲子與紅衣服應該是一套衣服 所以相互獨立性可能被違反 但是不假設相互獨立性 依你日常生活有限的觀察又無法得到教授同時穿紅衣服與紅褲子上課的機率 這個問題會變得暫時無法解決 

可以想見 教授同時穿紅衣紅褲上課的事後機率 在你的估算之下 會更小了

有的參考書籍會直接告訴讀者貝氏定理的公式 但可能忽略提醒讀者相互獨立性的重要性 讀者會發現 貝氏定理對於人工智慧的應用很重要 但是你有時候會發現機器人怎麼笨笨的 這是因為估算的關係 所以一直蒐集龐大的數據對於機器人廠商而言很重要 因為有了觀察到的數據 可以縮小估算的差異

有時候你會看見先驗機率與後驗機率 它們與事前機率和事後機率是同義詞