論「比」與「正比」課程的結構修正＠長江水滔滔

2015-01-18 15:47:09| 人氣5,133| 回應1 | 上一篇 | 下一篇

論「比」與「正比」課程的結構修正

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現行的國小六年級數學教材中，諸多版本（不確定是不是全部版本）存在著一個叫「比與正比」的章節。對於這個章節教材所呈現的學理闡述，我認為有很大的謬誤。我帶過的幾次高年級，都盡力想修正這個問題，但是受限於學生課後課業指導（包括家長、安親、補習）流於照本宣科，進度又比我快，一傅眾咻，難有成效。

首先介紹一下現行教材對於「比」與「正比」鋪陳的邏輯：

一、任意兩個數量都可以拿來寫成「比」。

二、「比」的前項和後項相除，得「比值」。

三、若兩組變量所算出的諸多比值皆恆定，稱此兩組變量成正比。

以上認知，似是而非。實則：

一、不是任意兩個數量都能拿來寫成「比」，只有同類量（同一種物
理量）可以。因為，「比」，有比較的意義。不同類量，不能比
較，因此，不同類量的比是無意義的。

二、不是任意兩個同類量都能拿來寫成比，必須先確認這兩個同類量
有正比的關係，或是至少認為「大致上」有類似正比的正相
關的臆測，才能寫成「比」。例如某場比賽，兩隊成績的比
，並不能保證將賽時延長兩倍，其成績就一定變成兩倍，而維持
比值不變，但看在觀眾的眼裡，兩隊的實力是否懸殊，則免不了
有「類推」的意識存在。再舉年齡的問題：將父子的年齡寫作「
比」，也並不適合，因為父子年齡並非呈現正比關係，若將父子
年齡寫作「比」的形式，則此「比」的正確性，只能維持一瞬間
，毫無數學上的類推功能。

三、由於所有的「比」都沒有單位，只有前項與後項為同類量的時候
，前項與後項相除，單位才能消去；反之，若要「明知不可為而
      為之」，拿不同類量來「比」，單位勢必不能相消，而比值又不
      能帶單位的話，比值的大小就會受到前項或後項的單位變動，而
      完全不同。若比值真的是個有意義的、有標準性、有參考價值的
      數據，又怎麼能允許這種因人而異的不定性呢？

四、「比」的意義其實有兩個，一是比較，二是類推。分述之：

「比」的「比較」意義：當我們用數據表示兩個同類量的的比是 A：B時，已不單單告訴讀者A和B哪個大，而是已經明確的告訴讀者前項是後項的A/B倍，後項是前項的B/A倍，比口頭上的「前項比較大」或「後項比較大」多了「大多少」的具體性。
「比」的「類推」意義：也就是正比關係。當我們知道兩個以上的同類量成正比時，例如調色，兩種以上色料的份量，便可以以「比」的形式寫出。如果是不同類量之間成正比，則某種量的比，會等於另一種量的比。例如我們說，同溫同壓下的兩股氣體（無論成分異同），「體積比」會等於「莫耳數比」。波以耳定律說：理想氣體的壓力與體積成反比，因此「體積比」會等於壓力的「倒數比」。

五、「正比」其實是一種「數量關係」：兩個成正比的相關變量，
其中一個變量變成原來的K倍時，另一個也會變成K倍。在關
係式上，兩個成正比的變量，其商為定值（這個商不能叫做
「比值」，它們沒有在比也不能比）。例如S/T＝V，S與T成
正比，但V不能稱為它們的比值，因為S與T不能比較，V也帶
      有單位。有人說：速率是物體移動之路徑長與其所耗時間的
      比值，其實是不對的。速率在物理上的定義是「單位時間內
      物體移動的路徑長」才對。「比值」是因應「比較」而生的
      倍率，是沒有單位的，而「速率」並不是一種「比較」而生
      的值，它只是將物體移動的路徑長除以時間，是一種「等分
      除」的學理，和「比」的概念無關，不該將「比」的定義如
      此擴大解釋。

六、基於以上學理的澄清我們不難發現「比和比值」與「正比」
不應該放在同一章節。更重要的是學生應該先學「正比」，
再學「比」，而不是像現行教材不管兩個量是不是同類量也
不管是不是有相關性，先拿來亂比一通，再找出其中「比值
相同的」兩變量，說他們成正比。

七、現行教材教「數量關係」議題時，有教「和不變」、「差不
變」、「積不變」，但唯獨不講「商不變」。其實商不變就
是正比關係，為什麼不乘勝追擊，反而將「正比」的內容併
入「比與正比」的單元，還把「正比」放在「比」的教學之
後？更弔詭的是現行的九年一貫課程綱要將「反比」移到國
中教，卻不知早在六上「數量關係」中就有了「積不變」這
回事，可說是臨門一腳，只差沒說出「成反比」的字眼罷了。

結論：