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2018-07-07 11:59:17 | 人氣(155) | 回應(0) | 上一篇

以質因數分解訓練取代短除法教學的學理分析

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(這是一篇好幾年前寫給家長的文章了,最近發現,我的網誌居然找不到這篇!茲補貼!)
小學生不必學短除法,尤其請安親班和家長不要再逼我的學生用短除法去算我出的作業!
 
「短除法」是許多家長小時候的回憶。排除大部分早已忘記什麼是短除法,以及忘記短除法可以拿來做什麼的家長,剩下少數的家長還記得「好像是拿來算最大公因數和最小公倍數的」,或模糊的記得「好像是因數與倍數相關的章節用得到」。
 
為什麼不記得了?就是因為這個東西一輩子也用不到,國一就忘光了。所以,既然用不到,我不建議學。
 
短除法,是64年課程標準以前,數學課的內容。事實上,歷來爭議不斷,到82年課程綱要修訂的時候,就已經刪除了。如今的課程屬於89年「九年一貫課程」的「97課綱」,且即將進入十二年國教的「108課綱」,距離短除法刪除的時間已經二十多年。爭議的原因很多,其中一項重要的原因,在於老師根本就無法對小學生解釋清楚它的原理。據82課程編審小組的說法,短除法的每一步驟,都牽涉到一種叫做「算數基本定理」的理論,他們認為這個理論超出小學生能理解的範圍。(註1)
 
也就是說,如果要叫小學生用短除法來求最大公因數和最小公倍數,它的每一步驟都只是機械式的填鴨命令,並非「數學」的學習。
 
更糟的是,在處理三個以上的數字時,「用來算最大公因數的短除法」,和「用來算最小公倍數的短除法」,規則不太一樣!很容易弄錯!坦白講,我個人在小學畢業之後因為再也沒有使用過,早就忘了!我真正重新學會短除法,是在我當老師第四年的時候,我先問了幾個比較信得過的學生(他們是在安親班學的),再去找隔壁班的那位明星老師確認程序的。
 
不用短除法怎麼求最大公因數和最小公倍數?建議用質因數分解比對法:
1.將每個數做質因數分解
2.整理質因數分解的結果,化成冪次(寫成指數的形式),依底數由小到大的次序排列。
3.將他們進行比對:它們的最大公因數,是各個分解的結果中,比對出指數最低的(注意:最低是零次方),相乘;最小公倍數則是挑指數最高的相乘。老師只要去解析這樣的結果為何可以滿足這些數字之間公因數包得最大的範圍,以及為何可以滿足這些數字之間能包含所有的數而又包得最小的範圍----老師會比較容易講清楚。
 
有家長或學生會質疑:這樣做會不會很慢?答案是「熟了就不會,而且,應該要練熟」。因為質因數分解的能力,牽涉到學生的數感,如果這項數感不強,他在約分、通分的能力就會受阻。約分、通分的能力受阻,絕不只是處理分數的題目受限,而是所有乘除混合的算式處理都會居於弱勢。所以,質因數分解,是無論學不學因數都要練的東西(註2)。反而是短除法,對於這項訓練的功效不強,而且速度有上限。質因數分解一旦練熟,他們找最大公因數或最小公倍數的速度將會超過只會短除法的學生,而且他在往後幾年的整體計算能力會比沒練過質因數分解的人強很多。這是我的老學生從國中回來找我時所分享的喜悅。
例如36的分解,用短除法2、2、3……這樣做一長串不難,但學生真正需要的訓練是利用「四九三十六」去配合「四和九是二和三的平方」,或「六六三十六」去配合「每個六都有一個二和一個三」,整理出36的乘法結構是兩個2和兩個3。當學生練熟之後,一眼就知道36的乘法結構,自然就會知道36可以跟別人用什麼約;這是單單依賴短除法處理數字的學生做不到的!
最後再補充一個短除法的限制:沒有練過質因數分解比對而只會用短除法找最大因數的小朋友,對於10以上的「質公因數」的察覺,是非常困難的!他們會覺得34和51看了好久好久怎麼看都是互質!但是這兩個數用質因數分解,一個很容易知道是兩個十七,一個很容知道是三個十七,所以最大公因數就是十七啊!
 
彙整以質因數分解訓練取代短除法教學的理由如下:
1.短除法「教學」困難,只能填鴨。質因數分解法可以讓學生瞭解數的乘法結構,與公因數、公倍數背後的機制。
2.短除法的「規則」有兩種,容易搞混、忘記;質因數分解比對的「原理」清楚、不變、可追憶(未來用片段的記憶就可以自行研究)。
3.短除法運用的生命週期只有一次期中考,考後一輩子也用不到;質因數分解訓練卻不止是為了求公因數、公倍數,它會不斷的需要,所以亟需訓練。
4.不用短除法也可以找出最大公因數和最小公倍數,但短除法只能做這件事。
5.短除法的速度不見得比較快,因為它要抄很多數字,還要寫短除法的層層格式。質因數分解比對法訓練過後,心算就可以算出很多東西,常常連寫都不用寫。
6.質因數分解比對法免除了要學生一眼看出兩個以上數字內藏什麼公因數的困難,他們可以自由、個別的分解這些數;分解出容易分解的小因數後,剩下不易分解的大因數(尤其是大質因數)就水落石出了。用質因數分解比對法去處理一千以內數幾乎不會遇到什麼難題,但僅用短除法的話,其實一百以內的數就可以出現一些「難題」了。
 
註1:對此,我曾經對短除法的每一步驟的細節做過研究,其實到最後有關「最小公倍數為什麼是那些東西乘起來」,尤其對於「三個以上數字求最小公倍數的短除法」還沒有研究透徹,但曾有明星老師向我表示,他已經全部弄懂,而且教他的學生全部理解也沒有問題。所以我對於官方研究「小學生到底具不具備算數基本定理思維」的宣判暫時持平,但在這個探究的過程中我至少發現,就算小學生具備算數基本定理的思維能力(有懂數學的網友說,我要教的質因數分解就已經是算數基本定理的應用了,所以我不教短除法也並沒有逃掉迫使學生理解算數基本定理的路),要教導學生「懂」短除法的原理也是非常困難的,沒幾個明星老師做得到。
註2:我帶我的學生是在四年級還沒有學因數的時候就先練「因數分解」了;這個訓練,還可以用來追蹤他們三年級以來所背的九九乘法,是否能做到滾瓜爛熟;如果沒有,其實他們連除法的「估商」能力都會有問題。
註3:我甚至為此編製了「心算最大公因數」、「心算最小公倍數」的學習單。這很神話嗎?其實不會喔,因為在「約分」的實際操作上,大家都是在心算,沒有人會為了個約分,而在旁邊去做短除法的吧?這就說明了因數分解或質因數分解的心算機會其實根本就躲不掉啊。


臺北縣平溪鄉十分村靜安橋南端


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