剛剛收到螃蟹icq的回覆, 驟看之下, 以為是正解. 因為我對正確的答案還未掌握清楚. 細想之後, 發覺不對. 所以螃蟹不是最快成功者.
這條問題對我來說, 就像是島田莊司的’占星術殺人事件’的數學版. 真是相當有趣的解謎過程.
現在寫寫我對於這條問題的首次試解. 首先再講一下題目內裡的含意. 朱小姐的方法, 有50%的人必然生還, 而
Expectation(average survive percetage)=[(m/2)+(m/2*1/2)]/m=75%.
現在我這個方法可以將Expectation增加至83.33%.
假設 總人數 m=3n+2 {n belongs to N}. 我們將m分成兩組. 由尾數上的(m+1)/3人為第一組, 其餘前排的m-(m+1)/3=(2m-1)/3人為第二組. 第一組我們稱為”犧牲者”, 第二組是”目標生存者”. 目標生存者是必然生還的人, 而犧牲者則是為目標生存者做指標的人. 此話何解? 看下例.
Let n=1, then m= 3*1+2=5 人. 所以第一組有(5+1)/3=2人, 第二組有(2m-1)/3=3人. 因為第一組的人包尾, 所以能夠看見前面的人, 並且是由第一組的人首先講自己的帽子. 故名思義, 他們是”犧牲者”, 所以他們目的在於公報資料給第二組的人知道.
圖解:
A->B->C->D->E {A,B--犧牲者, C,D,E—目標生存者}
如果A(即犧牲者一號)見到目標生存者(即第二組, 即C,D,E) 共有一個黑帽, 兩頂白帽, 那麼劊子手問他時, 他說:”黑帽”.
到B時, B說:”白帽”.
即{黑帽, 白帽}這條vector就是給目標生存者暗示 “你們之中有一頂黑帽, 兩頂白帽.”
至於{白帽, 黑帽}則暗示” 你們之中有一頂白帽, 兩頂黑帽”
{白帽, 白帽}則” 你們之中三頂也是白帽,”
{黑帽, 黑帽}則” 你們之中三頂也是黑帽,”
這個暗示對於C,D,E來說已經很夠清楚.
以{黑帽, 白帽}這vector做例, 如果C看到前面兩頂白帽, 他本身必然為黑帽; 如果前面一白一黑, 他本身必為白帽.
如此類推, 對D,E來說, 有了A,B犧牲的資訊, 和C的選擇, D,E知道自己的帽子顏色實在是必然的事.
我們可以將這個策略推至3n+2 {n belongs to N}.
寫下犧牲者既應對.
Let X be目標生存者的黑帽總和 , Y be目標生存者的白帽總和 ,
CASE 1) 所有目標生存者也是黑帽,
那麼所有犧牲者也說”黑帽”.
CASE 2) X
B說”黑”, X:= X-1;
直至X=0
剩餘所有犧牲者說”白”.
那麼如果vector是{黑, 黑, 白,白,白……,白}就代表目標生存者一共有兩頂黑帽.
{黑, 黑, 黑, 黑,白……,白}就代表目標生存者一共有四頂黑帽.
{黑, 黑, 黑, 黑, 黑, 黑, 黑, 黑}就代表目標生存者全部都是黑帽.
接著所有的目標生存者用簡單推理, 就能知道自己的帽子顏色.
所以平衡生存率就是[(1/2)*(m+1)/3+(2m-1)/3]/m -> 1/3*1/2+2/3=83.33%.
這是第一個試解, 相當成功的一個解法, 已將原來的expectation=75%升至83.33%. 不錯的結果. 下次講第二個試解, 因為太累了, 呵呵. 第二個試解將更複雜, 但生存率竟高達大概90%. 比這個方法還要好. 而正解的expectation竟然是高達???, 而且方法竟然是???
{密切期待 second attempt}
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