提夫數學世界 一個存放數理資料的地方。

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1.
蘇珊：20×4×75/100=60
小潘：20×5×70/100=70
70-60=10(C)#

2.
設上升高度為h
則100×40×h=40×20×10
得h=2(D)#

3.
設較小數為x
則x+2=3x 得x=1，x+2=3
1+3=4(A)#

4.
凱特共行之距離=16×30/60+4×90/60=14(km)
凱特共花之時間=30/60+90/60=2(hr)
距離/時間=14(km)/2(hr)=7(km/hr)(A)#

5.
設陳先生所繼承遺產為x元
則20x/100+8x/100=28x/100=10500
得x=37500(D)#

6.
如圖所示，得∠BAD=50∘(D)#

7.
a+b+c+d+e=5c=30，可算出c=6(C)#

8.
如圖所示，為30∘(C)#

9.
設到家距為x，到運動場距為y
則兩種方法所花時間=y/1=x/1+(x+y)/7
7y=7x+x+y => x/3=y/4 => x/y=3/4(B)#

10.
知此三角形為直角三角形且外心位於斜邊
故三角形三邊比3:4:5=18/5:24/5:6
1/2×18/5×24/5=8.64(A)#

11.
因為此級數每一個數字在每一位數都出現過一次
所以111必可整除S
111=37×3，選37(D)#

12.
a,b,c,d是奇數或偶數的機率各是1/2
當(a,b,c,d)=(奇,奇,奇,奇)時，所求為偶
當(a,b,c,d)=(奇,奇,奇,偶)時，所求為奇
當(a,b,c,d)=(奇,奇,偶,奇)時，所求為奇
當(a,b,c,d)=(奇,奇,偶,偶)時，所求為偶
當(a,b,c,d)=(奇,偶,奇,奇)時，所求為奇
當(a,b,c,d)=(奇,偶,奇,偶)時，所求為偶
當(a,b,c,d)=(奇,偶,偶,奇)時，所求為奇
當(a,b,c,d)=(奇,偶,偶,偶)時，所求為偶
當(a,b,c,d)=(偶,奇,奇,奇)時，所求為奇
當(a,b,c,d)=(偶,奇,奇,偶)時，所求為奇
當(a,b,c,d)=(偶,奇,偶,奇)時，所求為偶
當(a,b,c,d)=(偶,奇,偶,偶)時，所求為偶
當(a,b,c,d)=(偶,偶,奇,奇)時，所求為偶
當(a,b,c,d)=(偶,偶,奇,偶)時，所求為偶
當(a,b,c,d)=(偶,偶,偶,奇)時，所求為偶
當(a,b,c,d)=(偶,偶,偶,偶)時，所求為偶
共16個有10個為偶，所以是10/16=5/8(E)#


13.
y=-5x+18的法向量為(5,1)
(a,b)=(12,10)+t(5,1)=(12+5t,10+t)
且(a,b)在y=-5x+18上
代入得10+t=-60-25t+18 => 26t=-52 => t=-2
(a,b)=(2,8)
a+b=10(B)#

14.
(6-a),(6-b),(6-c),(6-d),(6-e)之中沒有一者為±9或±45
否則必會使其中有兩者相同
觀察並推之(6-a)(6-b)(6-c)(6-d) (6-e)=(1)(-1)(3)(-3)(5)
(a,b,c,d,e)=(5,7,3,9,1)
a+b+c+d+e=25(C)#

15.
3,10兩者不可能為中位數
若n是中位數，則3+6+n+9+10=5n => n=7
若6是中位數，則n+3+6+9+10=5×6=30 => n=2
若9是中位數，則3+6+9+10+n =5×9=45 => n=17
7+2+17=26(E)#

16.
按照題目所求，此三數可能為(未排列)：
(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(1,4,7),(2,4,6)(3,4,5),(1,5,9),(2,5,8),
(3,5,7),(4,5,6),(3,6,9),(4,6,8),(5,6,7),(5,7,9),(6,7,8),(7,8,9)
共16種未排列的組合 16×P3取3=16×3!=96
加上0作排列，0放個位數：120,210,240,…,480,840有8種
加上0作排列，0放十位數：102,201,204,…,408,804有8種
96+8×2=112(C)#

17.
sin²a+2sinasinb+sin²b=5/3
cos²a+2cosacosb+cos²b=1
sin²a+2sinasinb+sin²b+cos²a+2cosacosb+cos²b
=2+2(sinasinb+cosacosb)=2+2cos(a-b)=2+2/3
cos(a-b)=1/3(B)#

18.
f(x)=(x-2i)(x+2i)(x-(2+i))(x-(2-i))=(x²+4)(x²-4x+5)
所求=f(1)-1=5×2-1=9(D)#

19.
BC的斜率為0，知直線BC為y=0，可設A(k,h)
又△ABC=1/2×223×|h|/1=2007 => h=±18
DE的斜率為1，知直線DE為y=x-300，可設A(k,h)
又△ADE=1/2×9√2×|k-h-300|/√2=7002 => k=h+300±1556
所求即所有可能之k值之和
k=300+18+1556, 300+18-1556, 300-18+1556, 300-18-1556
其和為1200(E)#

20.
設切下的錐體互相垂直的三邊為x
則1-2x=√2x => x=(2-√2)/2
(1/2)[(2-√2)/2][(2-√2)/2][(2-√2)/2]×1/3×8=(10-7√2)/3(B)#

21.
設其共同的數值為k
則f(0)之各根和=-b/a=k，b=-ak
又f(0)之各根積= c/a=k，c= ak
且f(1)=a+b+c=a-ak+ak=a=k(A)#

22.
知道1000 2(當n=1001時)≦S(n)≦28(當n=1999時)
1(當S(n)=10時)≦S(S(n))≦10(當S(n)=19,28時)
得3≦S(n)+S(S(n))≦38
1969≦n=2007-S(n)-S(S(n))≦2004
知道1969≦n≦2004，令T= n+S(n)+S(S(n))
n=1969, S(n)=25, S(S(n))=7 , n+S(n)+S(S(n))=2001
當1970≦n≦1972時，S(n)≦19，S(S(n))≦10，T≦2001
當1973≦n≦1976時，S(n)≦23，S(S(n))≦5，T≦2004
Ｖ當n=1977，S(n)=24，S(S(n))=6，T=2007
當1978≦n≦1979時，25≦S(n)，7≦S(S(n))，T≧2010
Ｖ當n=1980時，S(n)=18，S(S(n))=9，T=2007
當n=1981時，S(n)=19，S(S(n))=10，T=2010
當n=1982時，S(n)=20，S(S(n))=2，T=2004
Ｖ當n=1983時，S(n)=19，S(S(n))=10，T=2007
當1984≦n≦1989時，22≦S(n)≦27，4≦S(S(n))≦9，T≧2010
當1990≦n≦1999時，19≦S(n)≦28，2≦S(S(n))，T≧2011
當n=2000時，S(n)=2，S(S(n))=2，T=2004
Ｖ當n=2001時，S(n)=3，S(S(n))=3，T=2007
當2002≦n≦2004時，4≦S(n)≦6，4≦S(S(n))≦6，T≧2010
當n=1977,1980,1983,2001(D)#

23.
A,B,C之相對位置應如圖所示，設B(k,loga k²)
則A(k+6,loga k²)在y=loga x上且C(k,6+loga k²)在y=loga x³上
loga k²= loga (k+6) 且6+loga k²= loga k³
k²= k+6且6+loga k²= loga k³
k²= k+6 => k²-k-6=(k-3)(k+2)=0 => k=3,-2
6+loga k²= loga k³ => 6 = loga k => a= 6√-2(不合) ,6√3(A)#

24.
觀察圖形，發現：
若n-1不可以被4整除，則在[0,π]有n+1組解
若n-1可以被4整除，則在[0,π]有n組解
以Σ表示Σ從n=2加到2007，以[]作為高斯符號
ΣF(n)=Σ(n+1)-[(2007-1)/4]=(3+2008)×2006/2-501=2016532(D)#

25.
此集合沒有元素=>1個古怪集合
此集合有1個元素=>12個古怪集合
此集合有2個元素
=>{1,4~12},{2,5~12},{3,6~12}…{9,12}
=>9+8+7+…+1=45個古怪集合
此集合有3個元素
=>{1,4,7~12},{1,5,8~12}…, {2,5,8~12}…,{3,6,9~12}……{6,9,12}
=>(6+5+…+1)+(5+…+1)+(4+…+1)+…(2+1)+1=56個古怪集合
此集合有4個元素
=>{1,4,7,10~12},{1,4,8,11~12},…,{2,5,8,11~12},… ,{2,6,9,12},{3,6,9,12}
=>15個古怪集合
此集合有5個以上元素=>0個古怪集合
1+12+45+56+15=129(E)#


參考
http://www.99cef.org.tw/
http://www.99cef.org.tw/AMC10&12/58th_AMC12_2007.pdf

聲明
以上解法是本人的解題方法，如與坊間參考解法有雷同純屬巧合
如果有需要更多詳解可參考
http://www.jianhsin.com.tw/products/product_sele_detail.php?author=九九文教基金會&sub=50