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2011-02-09 10:25:50| 人氣1,746| 回應0 | 上一篇 | 下一篇

國中數學總整理

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1 過兩點有且只有一條直線。
2 同一平面內，兩點之間線段最短。
3 同角或等角的補角相等。
4 同角或等角的餘角相等。
5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直。
6 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。
7 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行。
9 同位角相等，兩直線平行。-兩直線平行，同位角相等。
10 內錯角相等，兩直線平行。-兩直線平行，內錯角相等。
11 同旁內角互補，兩直線平行。-兩直線平行，同旁內角互補 。
12
13

15 三角形兩邊的和大於第三邊。兩邊的差小於第三邊。

17 三角形三個內角的和等於180°
18 直角三角形的兩個銳角互餘。
19 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
20 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
21 全等三角形的對應邊、對應角相等。
22 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 。
23 有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。
24 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。

25 有三邊對應相等的兩個三角形全等。

26 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。
27 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
28 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上。
29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
30 等腰三角形的兩個底角相等
31等腰三角形頂角的平分線平分底邊並且垂直於底邊
32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（三線合一）
33 等邊三角形的各角都相等，並且每一個角都等於60°
34 如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等
35 三個角都相等的三角形是等邊三角形
36 有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形
37 在直角三角形中，如果一個銳角等於30°那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半
38 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊上的一半
39 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
40 到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合
42 關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形
43 如果兩個圖形關於某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線
44兩個圖形關於某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上
45如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直線對稱
46畢氏定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等於斜邊c的平方，即a²+b²=c²
47如果三角形的三邊長a、b、c有關係a²+b²=c² ，那麼這個三角形是直角三角形
48四邊形的內角和等於360°
49四邊形的外角和等於360°
50多邊形內角和（n邊形）的內角的和等於（n-2）×180°
51任意多邊的外角和等於360°
52平行四邊形的對角相等
53平行四邊形的對邊相等
54夾在兩條平行線間的平行線段相等
55平行四邊形的對角線互相平分
56兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
57兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
58對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
59一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形
60 矩形的四個角都是直角
61矩形的對角線相等
62 有三個角是直角的四邊形是矩形
63 對角線相等的平行四邊形是矩形
64 菱形的四條邊都相等
65菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角
66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2
67四邊都相等的四邊形是菱形
68 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
69正方形的四個角都是直角，四條邊都相等
70正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
71 關於中心對稱的兩個圖形是全等的
72 關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分
73如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，並且被這一 點平分，那麼這兩個圖形關於這一點對稱
74等腰梯形在同一底上的兩個角相等
75等腰梯形的兩條對角線相等
76在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
77對角線相等的梯形是等腰梯形
78平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等
79 經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰
80 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊
81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，並且等於它的一半
82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半

83 比例的基本性質 如果a:b=c:d,那麼ad=bc
                   如果ad=bc,那麼a:b=c:d
84 合比性質：如果a／b=c／d,那麼(a±b)／b=(c±d)／d
85 等比性質：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那麼 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應 線段成比例
87 平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例
88 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那麼這條直線平行於三角形的第三邊
89 平行於三角形的一邊，並且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例
90 平行於三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似
91 兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似
93 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）
94 三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）
95 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三 角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似
96 相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等於相似比
97 相似三角形周長的比等於相似比
98 相似三角形面積的比等於相似比的平方
99 任意銳角的正弦值等於它的餘角的余弦值，任意銳角的余弦值等於它的餘角的正弦值
100任意銳角的正切值等於它的餘角的餘切值，任意銳角的餘切值等 於它的餘角的正切值
101圓是定點的距離等於定長的點的集合
102圓的內部可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合
103圓的外部可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合
104同圓或等圓的半徑相等
105到定點的距離等於定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓
106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線
107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線
108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線
109不在同一直線上的三點確定一個圓。
110垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦並且平分弦所對的兩條弧
111 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
112圓的兩條平行弦所夾的弧相等
113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
114在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等
115在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那麼它們所對應的其餘各組量都相等
116一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半
117 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
118半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑
119如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形
120圓的內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角都等於它的內對角
121①直線L和⊙O相交   d＜r
②直線L和⊙O相切   d=r
③直線L和⊙O相離   d＞r
122經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線
123圓的切線垂直於經過切點的半徑
124經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點
125經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心
126從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
128弦切角定理：弦切角等於它所夾的弧對的圓周角
129如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等
130相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等
131如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項
132切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項
133從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等
134如果兩個圓相切，那麼切點一定在連心線上
135圓與圓的位置關係

①兩圓外離 d＞R+r

②兩圓外切   d=R+r
③兩圓相交   R-r＜d＜R+r(R＞r)
④兩圓內切   d=R-r(R＞r)

⑤兩圓內含d＜R-r(R＞r)
136相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
137 把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形
⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形
138任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓
139正n邊形的每個內角都等於（n-2）×180°／n
140正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形
141正n邊形的面積Sn=pnrn／2   p表示正n邊形的周長
142正三角形面積√3a／4     a表示邊長
143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由於這些角的和應為 360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4
144弧長計算公式：L=n兀R／180
145扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
146內公切線長= d-(R-r)     外公切線長= d-(R+r)
實用工具:常用數學公式
乘法與因式分  a²-b²=(a+b)(a-b)   a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)   a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 x₁=-b+√(b2-4ac)/2a  x₂=-b-√(b2-4ac)/2a
根與係數的關係(韋達定理) x₁+x₂=-b/a   x₁*x₂=c/a

判別式
Δ=b²-4ac=0   注：方程有兩個相等的實根
Δ=b²-4ac>0   注：方程有兩個不等的實根
Δ=b²-4ac<0   注：方程沒有實根，有共軛複數根
三角函數公式
兩角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半形公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化積
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些數列前n項和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圓半徑
余弦定理  b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角
圓的標準方程  (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心座標
圓的一般方程  x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物線標準方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱側面積  S=c*h 斜棱柱側面積 S=c'*h
正棱錐側面積  S=1/2c*h' 正棱臺側面積  S=1/2(c+c')h'
圓臺側面積  S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面積  S=4pi*r2
圓柱側面積  S=c*h=2pi*h 圓錐側面積  S=1/2*c*l=pi*r*l
弧長公式  l=a*r a是圓心角的弧度數r >0 扇形面積公式  s=1/2*l*r
錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱體積  V=S'L    注：其中,S'是直截面面積， L是側棱長
柱體體積公式 V=s*h 圓柱體  V=pi*r²h

海倫定理：

海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫二世發現的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發現，以托希倫二世的名發表（未查證）。 我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”，它與海倫公式基本一樣。