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〈數學〉解開分割數結構之謎
數學家發現計數的碎形模式，證實了一項隱密的命題。
 
【@文╱卡司塔維奇（Davide Castelve】
在32歲即過世的人裡，大部份靠自學而成的印度數學家拉曼努真（Srinivasa Ramanujan）留給世人的，是令人印象深刻的傳奇生涯。如今，數論學家終於釐清他諸多謎般命題中的一項，這是拉曼努真在過世前一年（1920年）所寫下的敘述。
這項敘述討論的，是乍看之下似乎很簡單的分割概念。一個正整數可以分割成一些小正整數的和，例如「5」有下列七種可能的分割方式：
1＋1＋1＋1＋1,
1＋1＋1＋2,
1＋1＋3,
1＋2＋2,
1＋4,
2＋3,
5
數學家將這個結果表示成P(5)＝7。如果換成6，則有11種分割的可能性，記成P(6)＝11。
隨著n變大，n的分割數P(n)很快就會變得非常大。
例如P(100)＝190569292，而P(1000)竟然高達32位數。
幾百年來，數學家一直試圖揭開分割數的結構，其中一種可能，是研究分割數的相關模式。
拉曼努真發現如果從9開始，每次加5，那麼這一系列數的分割數都可以被5整除，例如：
P(9)＝30,
P(9+5)＝135,
P(9+10)＝490,
P(9+15)＝1575等。
拉曼努真斷言這個模式會一直持續下去，而且如果將5換成後兩個質數7和11，也會有類似的模式出現，這樣的模式也會發生在5、7、11的次方數。
舉例來說，有無窮多個相隔５3＝125的數n，它們的分割數P(n)會被125整除。
接下來，拉曼努真以接近神諭的語氣指出，更大的質數將不再有這種「簡單的性質」，也就是說，P(n)的相應數列不會出現都被13或17或19或其後任一質數整除的現象。此後多年，想探討更大質數分割數列模式的研究者一直徒勞無功。
2011年1月，美國艾茉利大學的小野健（Ken Ono）與合作者終於找到了解答：第一次有人可以用公式表示間隔為13次方數（13, 132, 133, …）的分割數關係，這項研究也包括了更大質數的情形。
他們發現的公式並不「簡單」，P(n)並不一定可以被13的次方數整除，事實上他們所發現的是餘數的關係。而且，如果固定質數，那麼隨著次方變大，這些公式反覆出現的模式讓人想到碎形，一種在不同尺度下相同的模式或形狀會不斷重複的結構。
小野健與另一位合作者在今年1月還發表了另一篇論文，文中提出了直接計算P(n)的第一個公式，這是幾百年來數論學家念茲在茲的大業。
這些新發現有沒有實際用途呢？美國賓州州立大學的安德魯斯（George E.Andrews）認為這很難預測，他說：「純數學的深度研究，需要一點時間才能滲透到應用的層次。」
【2011-05-16/聯合報/R18版/好讀周報科學力】