民國103年8月16日，貴陽市花溪區天河潭
本人負責高年級數學教學已有四屆七年的經驗。這四屆每輪對於高年級數學的重頭戲----「因數與倍數」的相關教學，我都有新的思索，並以實證法嘗試新的思索是否可行。
最先讓我感到困惑的，就從「因數」的定義和找尋程序講起。我對自己小時候學習因數的感受印象深刻，老師告訴我們，若甲整數除以乙整數會整除，則乙整數就是甲整數的因數。這是用「除法思維」教出因數的概念。
這個定義我能理解，但我質疑、覺得說不出的怪、難以接受的問題，在於「找因數」的流程。例如若要我們找出50的所有因數，難道真要從50除以1、50除以2、50除以3……做到50除以50，要經過50次計算，才能地毯式的搜完50的所有因數？在今天看來顯然不該用這麼缺乏效率的流程，何況50並不算是個很大的數。記得當時我不知道該怎麼表達我那種不安的感受，老師也無從解釋，只說「等你做多了就熟了」，但這是矛盾的啊！如果「做一題」就這麼費工的話，又怎麼「做得多」呢？更不合邏輯的是，如果解題的程序註定了是要這麼費工，那即使做得再多、再熟練，也不可能變得多快，更不會改變「程序冗長」的事實啊！
二十年後我變成了老師。當我重新去翻閱當年由國立編譯館依據「64年課程標準」編製的課本後，驚覺64教材還真的沒有把這件事情解釋清楚。後來面臨幾次教改，改成「82課程」、「九年一貫課程」及其數個小幅度修改，其實至今，始終沒有將這個問題好好澄清。
經過我長大後的自學，要找出50的所有因數的流程，其實應該是這樣的：
1.50可以分解為1乘以50（這是我要說的「乘法思維」，而大部分目前的課本不是這樣教的），由此找出兩個因數----1和50
2.50還可以分解為2乘以25，由此又可以找出兩個因數----2和25
3.50不能被3整除，因此3不是50的因數。
4.50不能被4整除，因此4不是50的因數。
5.50可以分解為5乘以10，因此又找出兩個因數----5和10
6.不用嘗試6能否整除50！因為如果50的因數沒有3，那3的一切倍數，包括6，也都不可能是50的因數！（這件事所有版本的課本都沒有教）
7.由於7已經接近「根號50」，基於每次找出的成對因數，都往「根號50」這個「中間地帶」靠攏，因此用整數從小到大依序試除50（而且排除不存在的小因數的倍數），只需測試到「根號50」以內的數（也就是7以內）即可。（小學又沒教根號，所以不可能有這種教法，但是如果不教這件事，那麼50的因數要找到什麼時候為止呢？絕大部分的學生對這個問題連想都沒有想過！而他們就這樣抱著困惑不解、或事不關己的心態混過月考了。我曾經有一個天才學生說，他認為試到50的一半25就可以了，因為找出2配25之後，後面那個因數只有越來越小的份，可見得任何數的因數都不會超過自己的一半......）
以上的七個程序，傳統教材從第1步就不是這樣教的。
其中最關鍵有效的技巧（觀念）在第6步和第7步！第6步和第7步的背景知識，涉及「數的乘法結構」的概念，包含質數、質因數分解、交換律與結合律、算數基本定理等。就算要恢復教短除法以及短除法相關的學理（82課程和九年一貫課程的前期被廢除），也應該先教這些，否則學生完全無法理解短除法的原理。
這第1步沒有教，是因為傳統的因數教法，都使用了前述的「除法思維」。如果使用除法思維，50除以2得25，只能說明2是50的因數，忽略了這個算式之中「25也找到了」的訊息。但若改用乘法思維，50等於2乘以25，在學生對交換率已熟稔的背景下，對於「一次找到兩個因數」是能輕易理解的。
更何況，由於學生對乘法的接觸比較早、熟悉、親切，以乘法思維面對新的「因數」主題學習，光在心理上就佔了很大的優勢。
以乘法思維解釋因數觀念，更重要的是它能與後續的學習發展接軌。學習了「因數分解」後，才能學習「質因數分解」，學習「質因數分解」後，才能學習「為什麼兩數的最大公因數的所有因數，就是他們的所有因數？」以及「為什麼兩數的公倍數數列，就是兩數最小公倍數的倍數數列？」然後再學習「為什麼兩數最大公因數的求法，是比對出他們共有的質因數的連乘積？」、「為什麼兩數最小公倍數的求法，是將他們質因數分解的結果互相比對，將彼此欠缺的質因數補滿？」
基於以上概述，我主張以乘法思維的教法，取代直到現今大部分教材仍使用的「除法思維」教法，來建立學童「因數」概念。去年我從翰林出版社提供的文宣中，發現該出版社已注意到這個問題，成為三大教科書出版社中首先放膽嘗試的教材。
該出版社還紓解了一項從我教書以來揮之不去的困擾----「學生一上五年級就要迎接這麼不友善的課程！」五年級是一個新班，除班級常規需要時間重建外，師生之間也需要時間培養情感，這兩項基礎建立後，教學才會有效；偏偏從64年舊課程以來即使經過兩次教改，所有版本的數學教材仍然不變的都把因數與倍數放在五年級上學期的第一課！這對師生雙方都會造成非常大的壓力，又加上這個章節的影響甚為深遠，一旦沒有上好，後面的數學將一蹶不振。翰林出版社去年的改版，不但將因數與倍數的題材往後挪，而且基於剛才提到的「要以乘法思維引入」的教法，他們改成了先教倍數再教因數！我任教十三年來一直期盼的改變終於在第十二年出現曙光！
於此我想再談談六年級目前正要教「最大公因數與最小公倍數」的問題----我很反對用短除法找最大公因數或最小公倍數的方法。我認為（基於學理和教學經驗）最大公因數和最小公倍數，應該用「質因數分解比對法」求得。
質因數分解比對法是這樣的：先將每個數個別做質因數分解後，將他們的質因數化成冪次，依序排列，然後再並排比對。它們的最大公因數，是各個質因數挑指數最低的相乘（最低是零次方），最小公倍數則是挑指數最高的相乘。這個原理，只要有辦法讓學生先熟悉指數的意義，老師就可以講清楚。此外，質因數分解做熟了以後，有很多題目的最小公倍數和最大公因數，其實並不需要真的乖乖列出分解式，常能達到「心算」的境界。可是小學沒有教「指數」，為了運用這個「質因數分解比對法」，我提前教了指數。我發現一開始有部分學生還真的常搞混「乘數」和「指數」，但是繼續堅持一段時間，幾乎所有學生都會理解而且很愛這種表示法，因為他們發現這會讓他們寫算式時少很多筆畫，尤其在底數不是一個「數」而是一個「式」的時候，還不用指數表示法簡直就是整人。
「短除法」是許多家長小時候的回憶。排除大部分早已忘記什麼是短除法，以及忘記短除法可以拿來做什麼的家長後，其實，剩下的少數家長，也不過就是記得「好像是拿來算最大公因數和最小公倍數的」，或模糊的記得「好像是因數與倍數相關的章節用得到」。
為什麼不記得了？因為這個東西一輩子也用不到，國一就忘光了。既然用不到，我不建議學。
這個64年課程標準以前的數學課內容，歷來爭議不斷。82年課程綱要修訂的時候就已經刪除了。如今的課程屬於89年「九年一貫課程」的「97課綱」，距離短除法刪除的時間又過了15年。爭議的原因很多，其中基本的一項原因，是國小老師很難對小學生解釋清楚它的原理（何況打從64教材就沒有講解原理，真的一個字都不解釋）。據82年課程綱要課程編審小組的說法，短除法的每一步驟，都牽涉到一種叫做「算數基本定理」的理論，他們認為這個理論超出小學生能理解的範圍。後來經過我查詢「什麼叫算數基本定理」後，覺得那其實並不是我的疑慮。我對「算數基本定理」的解讀是：當一個正整數被做質因數分解時，無論過程有何不同，最後都只有一個唯一的答案；例如18，無論先分解成「二九十八」，還是「三六十八」，最後的答案都是唯一的「二乘以三乘以三」。這個隱含的定理，在教質因數分解的時候就已經沒在避免了嘛，可見得「算數基本定理超出小學生能理解的範圍」不足以作為「短除法不適合教」的理由。我覺得以短除法求取最大公因數或最小公倍數的問題，其實下面四個更嚴重：
第一，短除法的學理解釋難度很高，沒幾個老師能說清楚。目前康軒版試圖恢復短除法的教學，並對其每一步驟都作解釋，解釋得還不錯。但是它這種解釋的層次，對於「最小公倍數怎麼能這樣解出來」只能解釋「兩個數」的最小公倍數，而且還是必須藉助「質因數分解比對法」的結果去解釋。也就是說，即使在康軒版對於短除法的教學中，短除法也只是在學習「質因數分解比對法」後的一個延伸罷了，「質因數分解比對法」還是要先精熟。可是既然已經精熟了質因數分解比對法，又何必要學短除法呢？
第二，用短除法求取兩個數的最小公倍數的規則，和用短除法求取三個以上的數的最小公倍數的規則，不太一樣！但是用質因數分解比對法，無論求兩個數的最小公倍數，還是三個以上的數的最小公倍數，都一樣！所以不容易忘記，也不會有「弄錯規則、忘記規則而算錯」的風險。
註：目前九年一貫課程最新版規定，小學只學「兩個數」的最大公因數和最小公倍數求法，不會出三個數以上的題目；但這也不能替短除法脫罪----短除法的學習沒有延伸性！
第三，使用短除法求取最大公因數或最小公倍數時，每一層的公因數提取，相對於只針對一個數進行因數分解（而且不需要是質因數分解，也不限定分解方式）都大幅的增加了難度。要處理兩個數，就必須同時想出兩個數的公因數；要處理三個數，就必須同時想出兩個到三個數的公因數----這非常困難！無論小孩或大人，常常是想到其中一個數有誰，另一個沒有；又想到另一個數有誰，這個數又沒有……其實他們有……。不但慢，而且容易因為錯過不易看出的公因數，導致算錯----尤其對於帶有「大質公因數」的題目，非常難答對！反之，使用質因數分解比對法，各個擊破，完全沒有這個問題。
第四，質因數分解比對法，能迫使學生不斷進行因數分解的練習，無論數字小、數字大，通通練習。練習一多，學生對於「數感」就會越來越敏銳。這種對於數的乘法結構敏銳的能力，將不僅僅利於最大公因數和最小公倍數的求取題，對於約分、往後的繁分數的化簡、多重括弧的四則混合運算、展開（分配）與提出（因式分解）……等等後續國、高中的數學解題能力，都有顯著的幫助！反觀短除法，只能用在最大公因數與最小公倍數的求取上，小學一畢業，很快就忘光了！
以36的分解為例，用短除法2、2、3……做一長串不難，但學生真正需要的訓練，是利用「四九三十六」，或「六六三十六」，配合「四和九是二和三的平方」的記熟去解題。做熟之後，學生一眼就知道36裡面有兩個2、兩個3相乘，當他拿36和別的數字相除時，一眼就知道可以用什麼約！這是平時不花時間練質因數分解，只做短除法的學生，所沒有的能力。
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