2008-11-09 10:43:47| 人氣1,295| 回應1 | 上一篇 | 下一篇

胡言亂語。混沌.二章

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應該不斷地檢驗數學家推論的結果,
比對自己有關合理生物行為的種種直覺。
如果這樣的檢驗顯示出入,必須考慮下列幾種可能性:

1.正規的數學推論有所錯誤。
2.開始的假設錯誤,或太急切的過度簡化。
3.自己對生物範圍的直覺有所缺憾。
4.一件開天闢地的新理論已經被發現了。
                               ──Harvey  J. Gold
 

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我們已經知道,所謂自然界的現象,其實根本就不是課本上寫的那麼簡單。在充滿混亂不穩定干擾的真實世界當中,有很多東西是完全無法預期的。一滴水珠降落在一個平面,接著他會朝哪裡滾動呢?要知道這個問題大概的答案,我們可以只考慮平面的傾斜,想知道比較詳細些的話,我們還要考慮這個平面本身的小干擾,例如表面凹凸不平的影響,再考慮的深入些,我們要計算水珠當中無數水分子與空氣中無數氣體分子的運動造成的影響,若想求得最終無比精確的答案唯一的方法是滴一滴水,親自做個實驗看它會朝哪裡去。

 

不過,即使如此,有些人相信,不管變因有多麼複雜,只要能夠徹底計算所有的變因,終究可以得到水珠的流向,只是這條用來描述水珠流向的方程式複雜得相當過分,很可能遠遠地超出人類能夠理解的範圍。這就好像有一個函數被隱藏他自己,使得我們無法很明確的得知結果,這是被稱為隱函數理論的想法。也就是說世界萬物終究是可以被決定的,只是這個調皮的函數躲藏得太好了。事實上,有許多物理學家究其一生,就是在尋找一些刁鑽的隱函數,這種事情需要極大的信仰,因為你在尋找的東西甚至有可能根本不存在,他們就像走在一團迷霧當中,只能堅信持續朝著某個方向走就能到達目的。

 

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畢諾特.曼德布洛特一看到黑板上畫著的圖表,就詫異地吐了一下舌頭。這玩意,難道到處都有嗎?他轉頭向正忙著整理辦公室桌面的那位教授詢問。然而,罕德力可.郝撒克,這位哈佛的經濟學教授完全不了解眼前這男子在說些什麼,黑板上那抖動波浪似的圖形只不過是這八年來棉花價格的起伏罷了。

 

「我說,這圖表根本就是我今天要演講的內容嘛,你們這些喜歡藏匿驚喜的傢伙。」

 

當然,曼德布洛特只是在開玩笑。畢竟,真相不管是否被發現,都始終會一直存在,這只不過是另一個例子。一瞬間,他的意識飄回到當年還是個研究生的自己,就是那時,他隱隱地覺得事情有古怪。和大多數的數學家不同,他不怎麼喜歡用一條又一條的公理來推斷出嚴謹的結果,反之,他經常性地依賴自己的直覺來作事。因此當這種想法剛出現雛形的瞬間,他不是拿起紙筆來推演,只是悠閒地把它記著,偶爾拿出來思考一番。經過這種長時間的醞釀,現在看到這張圖表,他可是胸有成竹。

郝撒克這時走近黑板,把那圖形用他那瞇成一條細縫的雙眼又看了一遍,這圖形是有些詭異,但哪一個經濟學的圖形是不詭異的呢?它們通常都會遵循一些基礎法則,一般相信,像棉花這種期貨的價格會以交織著的兩種模式在變化,一種被稱為「理想秩序」或是「約瑟夫效應」,一種則被戲稱為「有秩序的無秩序」或是「諾亞效應」,就長期而言,價格應該會隨著市場經濟的成長或衰落來調整,例如新建的貿易港啟用這種就是很好的指標,短期時則多少會小幅地跳動。不幸地,這副圖表上有太多的大跳躍,有些根本毫無理由。雖然整體看起來還不錯,但是小波動與大波動的比率並不像他所預期的,分布在下降時也不夠穩定。

 

「拿破崙的帽子啊,在這裡可顯得有些尖了。」郝撒克指著一些點,並沒有轉頭。

 

雖然現在是IBM公司的數學研究部的成員,曼德布洛特也稍微自學過一些經濟學這種比較聞得出人類氣息的學問,他知道「拿破崙的帽子」是有些人喜歡對「常態分部的鐘型曲線」使用的暱稱。他笑了一下。我們的眼光通常太被侷限在小地方了啊。

 

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事實上,曼德布洛特(Mandelbort)真的不是那種嚴謹而具有異常專注特質的數學家,或者該說,他不像一般的數學家。他喜歡東碰碰西摸摸,看到什麼有興趣的學科就鑽進去,過沒多久又抽出來。也因此他在各領域的資歷總是很淺又雜亂,他一下在哈佛演講經濟學,一下在耶魯演講工程學,又一下在愛因斯坦醫學院演講生理學……很多根本就找不到交集。所以,他總只是一些學門當中的邊緣人物,每當要發表論文就會遭人白眼。但不知不覺,從多如繁星的學門當中,他隱隱發現了一個通則。他曾經在一個有關電子噪訊發生頻率的研究中複製出一種稱為康特集合的抽象模型。這是十九世紀數學家康特(Contor)做出來的,步驟如下:

 

畫一條長線,然後把中間的三分之一擦掉,於是剩下兩個線段。

把這兩條線段中間的三分之一擦掉,剩下四條線段。

把這四條線段中間的三分之一擦掉,剩下八條線段……

 

不斷重複這步驟,有一點像莊子天下篇提到的「一尺之捶日取其半」。最後這樣會剩下什麼呢?八條會再度倍增成十六條更短的線,這十六條也再度倍增,於是,這條線段會變成一堆塵埃般的點,數量無限多,長度無限小。

當然這種毛茸茸的怪物引起了幾何學家的恐慌,傳統幾何學以經典的圓、直線、平面、立方體等等來抽象化數學模型,目的在於簡化現實世界的樣貌,可是面對康特塵的複雜程度完全束手無策。

曼德布洛特喜歡這樣宣稱:雲朵不是球體,山脈不是圓椎,雷電也不是直線。現實世界是複雜的、崎嶇的、不平坦的。這裡一個窟窿那裡一個裂縫,混亂不堪,傳統幾何無法應付。仿製他有名的問題,我們也可以探討台灣的海岸線到底有多長?要回答這個問題,你可以去拿台灣地圖來仔細地測量邊緣長度後,乘上比例尺。但這就是準確的長度了嗎?顯然不是,因為地圖忽略了太多細節。那麼,既然只是假想,累一點也沒關係,想像自己拿著一把15cm的直尺走遍了台灣海岸,這次量到了一個更長的數值,準確了嗎?不對,你拿的測量工具也有問題,那會忽略小於15cm的彎曲部份,於是你這次又拿著更加精細的測量工具,量出更長的值……然而,除非測量到每一個原子的等級,你的答案永遠會不準確。

當然啦,那些從來不會真的去測量的數學老師只會說,這不斷測量的值會逼近或收斂到某個數字,就不會再有太大的差異了。

大錯特錯,如果海岸線是經典的歐幾里得幾何形狀,例如圓形,那麼測量值的確會收斂,但是真實世界沒這麼好的事。

這種不規則的形狀,傳統幾何學無能為力,歐式幾何的長寬高概念無法掌握。於是,曼德布洛特開始朝向傳統「維度」的概念挑戰。維度指的是在一個集合中,要描述一個點需要幾個數字。例如我們生活的三維空間就需要長++高、或是經++高三個數字。一個平面則是兩維,一條線段是一維,一點則是零維,因為不需要任何描述,一點只能存在他自己本身的位置。

那麼毛線團的維度是多少?

儘管它捲成一團,它畢竟是一條線段,所以只有一個維度……不過,如果你離遠一點,看不清楚毛線,它就變成了一個球體,這是三維的。再離遠一點,連球體也看不清楚,遠在地平那端的毛線團只是一個零維的點……我是不是還沒說用放大鏡看?毛線從一維變成了三維的圓管狀體,接著用顯微鏡吧,圓管毛線分成了一維的纖維……頭暈了沒?好極了,結果變成你從多遠或多近來看,答案就有多不一樣。傳統幾何面對現實世界就會有這種包袱,在抽象世界裡,不管距離,事物永遠不會改變。

 

結果,利用本世紀數學家發明後立刻遭到冷落而原本幾乎失傳的某種方法,曼德布洛特發明了不是整數的維度計算法!

這種新的幾何學當然不討人喜歡,畢竟誰能想像二點七維或三分之一維是什麼玩意呢?然而,曼德布洛特證明了這種維度表示法對於不規則圖形……或者,用它自己發明的辭彙:碎形,有強大的表示方法。

 

打開心眼,或拿出紙筆,作一個正三角形。

然後,在每一邊上,粘上一個邊長是原本的三分之一的正三角形。現在是有十二邊的星形了。

重複此步驟,在十二個邊上粘上邊長是三分之一的三分之一,即九分之一的正三角形……唉,與其用文字敘述,給張圖大概比較快。



想像經過無限次循環後。

這是經常被拿來當作國中計算邊長的煩死人回家作業之一的圖形,實際上它有個美麗的名字:卡區(Koch)雪花。它是一個連續的迴圈,自己和自己永遠不相交,而且給那些真的去計算邊長的認真同學一個警告,它的邊長是無限的。每一次變形都會使總長度增加為三分之四倍,無限次當然是無限長……荒謬!他本身的面積永遠不會超出原本三角形的外接圓。這面積有限的圖形有一個無限的邊長?這實在違反我們對事物的直覺。唉呀,不只如此,有更多的數學家發明了各種更加莫名其妙的玩意呢,諸如希爾平斯基地毯,皮諾曲線,明吉海綿等等的。

歐幾里得投降,曼德布洛特的維度計算法則可以應付這類詭異的東西,例如,卡區雪花的維度是1.2618維。它注重的是事物本身的複雜與不規則程度。如此,無限被容納在有限之中,卡區雪花的邊長本身比一條單純線段還要長,卻沒有到二維的程度,它畢竟是線段不是平面。

 

此外,乍看之下是混亂的碎形,實際上它必須遵照諸如以上那些「擦掉中間三分之一」之類的規則,這是一種迴圈敘述,實際上,它也是目前所知最接近混沌的數學敘述。數學家後來發現,其實混沌本身並不是真的雜亂無章,即使數據上看起來是這樣,將數據畫成圖形後卻經常會冒出意外的規律性:碎形。把每筆資料表示成空間中的一點,一開始,資料的點會像一盤散沙散佈在空間當中,要經過極多極多的資料畫上去後,開始逐漸能感覺到某種形狀,不斷增加資料,最後會出現碎形。

 

漸漸地,人們開始有點了解自然的本質。

台長:
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iA*
前幾天用Harvey J. Gold去奇摩搜尋..點了英翻中的功能之後...
噹噹噹,中了Antivirus家族系列病毒的新品種
....................
原本還以為又要重灌了,好險只是間諜綁架程式,重開機之後把毒掃光光(耶)
話說他到底是誰? (不敢搜尋了...)
2009-01-17 21:26:41
版主回應
現在只記得是某國已故的生物數論學家了。
他的資料可能在學術網路比較容易查到,要是查到了光再補上來
光試著從英文雅虎上找也差不多,大部分都是同名的人。

比起要找他的話,找書可能比較容易吧,
這段話是節錄自他寫的書(1977年初版)
【Mathematical Modelling of Biological Systems】
(生物系統的數學模型塑造)

附帶一提,這篇文真是越寫越不順……
果然太久沒有寫東西文筆和思考都會退步orz
2009-01-20 19:48:15
是 (若未登入"個人新聞台帳號"則看不到回覆唷!)
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