一根火柴可以點燃百萬支蠟燭. 有許多學生閱讀隨後短文後, 都覺得自己便聰明了.因此, 我希望有機會你可以閱讀一遍; 在人生的過程中, 發覺自己的智慧成長, 不也是件令人快樂的事嗎? 我相深信: 在你費時認真閱讀過後, 定能有助你啟發思考!
西哲曾說: 未經思考的人生, 是不值得過的! 又說: 我思, 故我在! 所以, 在此我撰寫這一些思考的例子, 讓您忙碌之餘, 輕鬆一下, 稍解緊繃的精神! 又動一動大腦 , 免得腦筋生鏽了! 更重要的事是讓您思考... 思考, 以證實您思, 故您在!
自1983年以來, 即從事數學的教學活動, 經常告訴自己與鼓勵學生, 要多思考. 在人生的情境裡, 難免會遇到許許多多的問題, 而這些問題需要我們去面對及發些心思, 甚至灌注全副的精神去克服, 解決它! 即便如是, 我經常發現: 有些問題仍然無解. 然重要的是過程, 在這個過程中, 我們思考過.
□□要學好數學, 要會思考! 思考要有實際的動作 . 它不枯坐 , 空思亂想 . □□
1.有3 個容器不同的玻璃杯, 分別是 300 cc, 500 cc和 800 cc . 最大杯子盛滿清水, 您不可以再使用其它的容器, 如何使 500 cc和800 cc 的杯子都盛有 400 cc 的清水?
[提示 :問題的解決經常需要經過思考這個過程, 而思考不是枯坐在那兒空思亂想, 它
要有實際的動作, 就此題而言, 拿出筆紙, 畫畫杯子, 及畫出它盛有多少的
水, 從這杯倒到那杯 , ... 想一想並記錄過程與結果, 您會得到您要的! 再實際點,
您如果能拿出杯子來運作, 那更好! 即使您呆坐, 不思不想; 您還是得到你要的 .(因
你不想得出答案)]
□□數學提供很多解決問題的理論工具, 為自己找個理由學好數學吧! □□
2.六個人一同去搭兩小時的火車, 但只買到 4 張坐票, 請問每人可坐多少分鐘? 並請幫他們安排坐法 (排出一種即可) ?
[提示: 問題的解決, 通常有所謂的, 理論的問題與實際的問題, 而解決某一實際的問題時, 我們經常必須先解決寓於其後的理論的問題. 有關於本題之理論的層次
是我們小學裡所學過的算術, 首先算出: 每人可坐多少分鐘? 解決了這一理論的問題,
我們才有可能為搭火車的六個人安排坐法 (這一實際的問題) . 當然, 問題的解決也未
必要經思考這個過程, 然本題, 您如果用--試誤法--嘗試去解決它, 恐怕是費日曠時.]
□□ 我深信: 您有學好數學的聰明才智. 沒有失敗, 只有回饋.□□
3.有甲, 乙倆地相距1 公尺, 甲地有紅螞蛦, 乙地有黑螞蛦, 紅螞蛦每分鐘可爬10公分, 黑螞蛦每分鐘可爬1 公分, 今兩隻螞蛦, 同時爬, 黑螞蛦由乙地往甲地爬, 紅螞蛦由甲地往乙地爬, 但每遇到黑螞蛦, 則折回甲地, 再往乙地爬, 如此進行, 直到兩隻螞蛦皆聚集再甲地, 請問
a:當兩隻螞蛦第一次相遇, 紅螞蛦爬了幾公尺?
b:當兩隻螞蛦第二次相遇, 紅螞蛦爬了幾公尺?
c:紅螞蛦總共爬行幾公尺?
[提示: 多考慮抽象性, 不要太實際! 您如果要慢慢去算螞蛦第一次相遇, 紅螞蛦爬了幾公尺? 第2 次相遇, 紅螞蛦爬了幾公尺? 第3 次相遇, ... 第n 次相遇 ...
然後去加, 我很佩服您! 然, 我恐怕是, 您會跟我一樣: 我經常發現: 有些問題仍然
無解. ]
□□典獄長的故事: 如果數學關系著身家生命, 您會學好數學的! □□
4.相傳在希奇古國裡, 他們的監獄是按自然數 1, 2, 3, 4,... 依序一間一間編號, 牢門是電動鈕 (一按即開, 再按則關), 目前每間都是關著. 今天是國王就職周年慶, 國王要行大赦以示慶祝! 於是國王在九點三十分下達命令給典獄長. 希望典獄長於十點整, 把該放的放了, 不該放的不要放了. 若事情辦好, 就給典獄長升官發財, 否則就抓出去砍了.國王的釋放規則是:
第一條: 從第一間起, 每一間電動鈕按一下.
第2 條: 從第2 間起, 每隔2 間電動鈕按一下.(即 2, 4, 6, 8, 10, ...間按)
第3 條: 從第3 間起, 每隔3 間電動鈕按一下.(即 3, 6, 9, 12,15, ...間按)
第4 條: 以此類推, 從第n 間起, 每隔n 間電動鈕按一下.(即n,2n,3n,...間按)
請問:
a:關在第 120, 121, 122, 123, 124與125 間之犯人, 有哪幾人被放了?
b:關在第 7452900 與 7816600 間之犯人, 有哪幾人被放了?
c:希奇古國典獄長是升官發財, 或被抓出去砍了?
[提示: 國中一年級的數學就已提供解決本問題之理論基礎, 若是忘了, 翻翻課 本吧!]
□□我思故我在; 讀書麥甲賽. 甲賽: 意指讀書不用大腦, 裝填未經理解的公式. □□
5. 設有兩個等差數列, 它們的第 n 項的比是 (2n + 3): (3n + 2) , 試求它們的前 11 項之和的比?
[ 提示:(在底下這一小段的提示, 不是我要寫你看的, 是我操錄時下多數的國中, 高中數學參考書之解答, 提供您參考! 若您是國高中生, 希望您不要像這樣來解
題, 要不然接下來我要發問的問題會讓您, 秀逗! )
要訣: 一等差級數共有奇數項,則其總和 = 中央項 乘 項數
(11+1) 除以 2 = 6 ---> 中央項.
因為 第 n 項的比是 (2n + 3) : (3n + 2)
所以 第 6 項的比是 (2 x 6 + 3) : (3 x 6 + 2) = 15 : 20 = 3 : 4
所以 前 11 項之和的比 = 11 * (2 x 6 + 3) : 11 x (3 x 6 + 2) = 3 : 4 ]
接下來我要發問的問題是 :試求它們的前 12 項之和的比?
因為 12 項之項數 12 是一個偶數, 它不是個奇數. 如依前述之解法, 立即出現一個問題, 我們發現中央項 6.5 項, 不是一等差級數的項, 因此 我們不能依前述的解法, 試來解決問題!
即使您用 6.5 代入計算, 您相信您算出來的比是正確的嗎?
那麼我們如何求前偶數項之和的比??? 即使您去請教您的老師, 您可能獲得這樣的答案? 此題無解(指求前偶數項之和的比.), 不可能這樣考您或者您是否抄錯題目... 等等.若您得到的答案是: 此題無解, 那您又要如何發問呢? 試想想數列的偶數項確實存在, 那麼前偶數項之和也確實存在, 其比怎會無解呢?!縱是無解, 那又如何證明(實)無解呢? 例如:問題a:兩個連續奇數之和為6,試求此兩個連續奇數? 或問題b:兩個連續偶數之和為8,試求此兩個連續偶數? 我想關於 問題a 與問題b ,您有能力而且很容易 證明(實)問題a與問題b 無解,那麼此刻您腦海裡是否浮現這樣的(疑)問題? 是 沒能力(排斥性的) 或無解. 這使我想到兩句話: 知之為知之, 不知為不知, 是知也!另一句是: 吾愛吾 師, 吾更愛真理! 這時我想到了第19層地獄的故事.
這時您腦海裡是否又會浮現疑問? 只聽說地獄只有18層, 焉有19層的道理. 關於第19層地獄的故事. 以後! 有機會再聊!
果若您認真查考資料, 您會發現坊間之數學參考書, 有關於這樣的題目, 有另一種解法, 但您要留意: 它的解法合乎比與代入數值計算的觀念嗎?
您是否思考過, 何以您的老師會給您: 此題無解,但又沒證明(實) 無解呢?
我的回答是: 不是您的老師沒有能力, 是您的老師在他沒有用大腦思考前, 他會跟您一樣 , 沒有能力解出:(求前偶數項之和的比.) 這時,第19層地獄的故事. 又徘回在我腦海裡, 久久不去! 這不能怪您的老師, 因為他跟您一樣, 在同樣(教育)機制之下讀書求學, 若無特殊境遇, 我們會在這個機制之下, 被訓練成只會代公式的機器.只要得高分, 管它理不理解, 我們被迫放棄思考, 甚至放任我們的大腦裝填未經思考的垃圾. 可是, 我們正面臨人類有史以來資訊爆炸及儲理資訊 (普遍化) 的電腦, 如果只會代公式, 要知道電腦作得比我們更好!
果真是您的老師, 沒有用大腦思考, 而逕答說: 此題無解. 那麼, 他是沒有把事實的真相說了出來!. 事實的真相可能是在當時解不出來的.也可能是...;我想: 我們每個人都應服膺真理,具邏輯素養, 在真理之下低頭. 蘇格拉底不也曾說過: 我什麼都不道, 我只知道自己的無知.
如果您的老師能如下回答, 您想如何?
您提出的問題很好, 因為老師也未曾想過會有人出: 求前偶數項之和的比? 或者是您自問 (自己思考, 向自己發問) 的結果. 一時間, 老師也不能解出, 讓我們一起來思考如何解出它. 我想: 如果您是自己向自己發問, 所提出來的問題, 您很有可能比老師先解出來. 因為老師未曾向自己發問這類的問題. 果真您的老師能如上回答, 您想如何?
有機會請告訴我! 您的想法. 若您得到的答案是: 不可能這樣考您. 要知道: 讀書不全然為了考試. 思考能力的訓練也是學習數學裡重要的一環, 您要的不是答案的獲得, 而是學會如何思考; 向自己發問問題而試圖解決問題是學會思考的一步.牛頓如果只拿那一顆蘋果向他的老師(相容性)或老農夫發問:為什麼蘋果往下掉落, 而不往上飄呢? 那麼, 萬有引力將會是別人發現的.您以為然否?
顯見: 學會思考相當重要. 如果您拿(求前偶數項之和的比.)的問題來問我. 我不會直接告訴您答案及解出答案的計算過程, 因為當我這麼做的時候, 我是在剝奪您思考的機會, 阻礙您繼續思考, 那麼, 您的獨力思考的能力終難養成. 我會給您提示, 並向您提出問題 (順著求前 11 項之和的比. 求前 12 項之和的比. 求前奇數項之和的比. 求前偶數項之和的比. 想來, 我會向您提出何樣問題呢? 請先想想.) 讓您繼續思考, 這樣您才有機會學會如何思考. 您想出了, 接下來我要發問的問題嗎? '
以上提及您的老師在他沒有用大腦思考前, 他會跟您一樣, 沒有能力解出:(求前偶數項之和的比.) .這不是對您的老師不敬. 因為我相信他終究能解出的. 只要他認真思考. 也希望藉此能激勵他思考. 以致真能悟(非誤)人子弟, 莘莘眾學子果能因此受惠, 實千幸萬幸!
接下來我要發問的問題是 :試求它們的前 m 項之和的比?
這是數學一般化的力量, 從個別的事例到一般的例子. 請您自行思考求出數列前一般項之和的比? 找出求比公式, 那麼, 不管求前奇數項之和的比.或 求前偶數項之和的比. 那將是輕而易舉的事, 因為代入值計算, 是學習數學裡的基本要求 (能力) .做一個創造公式的人, 而不是代公式的人, 您將更能思考!
當您閱讀到此, 或許您已想出(數列前數項之和的比)如何解出. 您若還沒解出, 沒關系, 再想想罷吧! 因為 未經思考的人生, 是不值得過的! 我思, 故我在! 再見! 有機會再聊!
劉玫斯 撰
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